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入門量子電腦[1]: Quantum Bits

一個量子位元 ( 1 qubit )

狀態

在傳統計算機中,一個位元只會有兩種狀態,0 或 1

在量子計算機中,一個位元的狀態可以是 |0\rangle 或是 |1\rangle 或是他們的線性組合 |\psi \rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1|0\rangle
|0\rangle, |1\rangle 我們稱他為 computational basis state
所以在量子計算機中的位元,我們說他是處在一個疊加態
這邊的 \alpha, \beta 是複數 ( Complex Number ),理論上量子計算機的一個位元可以有無限多種狀態

觀測

在傳統計算機中,觀測一個位元,就只是把他的狀態取出來,他的狀態是 0 我們就觀測到 0,他的狀態是 1 我們就觀測到 1,非常的直覺

在量子計算機中,觀測一個位元,有 |\alpha|^2 的機率觀測到 0,有 |\beta|^2 的機率觀測到 1
機率總和會是 1,所以 \alpha, \beta 必須滿足 |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1,這個條件叫做 normalization condition
不同於傳統計算機,量子計算機在觀測後會破壞原本的狀態,我們稱做量子塌陷 ( collapse ),也就是
觀測出 0 之後,該位元的狀態就會變 |0\rangle,觀測出 1 之後,該位元的狀態就會變 |1\rangle
所以事實上,我們沒辦法觀測出量子位元的真實狀態 \alpha, \beta

兩個量子位元 ( 2 qubits )

2 qubits 會有 4 個 computational basis state: |00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle
所以 2 qubits 的狀態可以是 |\psi\rangle = \alpha_{00} |00\rangle + \alpha_{01} |01\rangle + \alpha_{10} |10\rangle + \alpha_{11} |11\rangle
觀測第一個 qubit 的時候,有 |\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2 的機率觀測到 0
觀測出 0 之後,該位元的狀態會只剩下第一個 qubit 有 0 的項,並且要滿足 normalization condition,所以會變成

\frac{\alpha_{00} |00\rangle + \alpha_{01} |01\rangle}{\sqrt{|\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2}}

接下來我們來看一個重要的 two qubit 狀態,叫做 Bell state 或 EPR pair

\frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}

第一個 qubit 有 \frac{1}{2} 的機率觀測到 0,有 \frac{1}{2} 的機率觀測到 1,第二個 qubit 也是一樣的情況

多個量子位元

同理,n 個量子位元就會長得像 |\psi\rangle = \sum_{x=\{0, 1\}^n} \alpha_{x} |x\rangle\{0, 1\}^n 代表由 0 或 1 組成長度為 n 的字串