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Introduction to Elliptic Curve

Elliptic Curve 的定義就是滿足下面的式子的點的集合

E = \{(x,y) \ | \ y^2 = x^3 + ax + b\} \text{ where } 4a^3 + 27b^2 \neq 0

x,y,a,b \in \mathbb{R} \text{ or } \mathbb{Q} \text{ or } \mathbb{C} \text{ or } \mathbb{Z}_p

在 cryptography 通常是用 \mathbb{Z}_p

再配上一個

  1. 單位元素 O,代表無限遠的點

  2. 反元素 -P,代表 P 對 x 軸的鏡射

  3. 運算元 + ( 以下稱加法 )

就形成一個群

P + Q = R

從幾何的角度 : R 就是 P 和 Q 畫一條線找另一個在橢圓曲線上的交點對 x 軸的鏡射

從代數的角度 :

P \ne Q :

s = \frac{y_p - y_q}{x_p - x_q}

x_r = s^2 - (x_p + x_q)

y_r = s(x_p - x_r) - y_p

P = Q :

s = \frac{3x_p^2 + a}{2y_p}

x_r = s^2 -2x_p

y_r = s(x_p - x_r) - y_p

可以看這個影片 : P + Q in algebra

kP

可以看成 k 次加法